ドミニオンの初手が５金になる確率は？

Googleと「８％程度」と答えはすぐに出てくる。

が、なぜその答えになるのかわからない。

調べてみたが、なんでその式なのかわからない。

基本が全然わかってないことを自覚。

確率＝それが発生する数　／　全てが発生する数

なので、それぞれの数を出すにはどうしたらいいか。

 基本から考えていく。

「二つのサイコロを振った時、出る目の組み合わせは何通りか」

※二つのサイコロを区別する。

（1：1）（1：2）（1：3）（1：4）（1：5）（1：6）

（2：1）（2：2）（2：3）（2：4）（2：5）（2：6）

（3：1）（3：2）（3：3）（3：4）（3：5）（3：6）

（4：1）（4：2）（4：3）（4：4）（4：5）（4：6）

（5：1）（5：2）（5：3）（5：4）（5：5）（5：6）

（6：1）（6：2）（6：3）（6：4）（6：5）（6：6）

数えてみると、３６通り

「二つのサイコロを振ったとき、出る目の組み合わせは何通りか。ただし、２つのサイコロは区別しない」

※２つのサイコロは区別しない→例えば（1：2）と（2：1）は同じ組み合わせとする。

（1：1）（1：2）（1：3）（1：4）（1：5）（1：6）

（2：2）（2：3）（2：4）（2：5）（2：6）

（3：3）（3：4）（3：5）（3：6）

（4：4）（4：5）（4：6）

（5：5）（5：6）

（6：6）

数えてみると、２１通り。

「Aと書かれたカードが3枚、Bが2枚、Cが1枚入った袋から適当に（無作為に）同時に2枚を取り出したとき、取り出したパターンは全部でいくつ？」

（A1：B1）（A1：B2）（A2：B1）（A2：B2）（A3：B1）（A3：B2）

（A1：C1）（A2：C1）（A3：C1）

（B1：C1）（B2：C1）

（A1：A2）（A2：A3）（A1：A3）

（B1：B2）

※同時に２枚を取り出すのだから、取り出す順番は関係ない。例えば、ババ抜きみたいにカードを持った時、（A1：C1）もしくは（C1：A1）と並んでいる場合、これは「同じもの」で「一つ」と数える。

数えてみると、１５通り。

「Aと書かれたカードが3枚、Bが2枚、Cが1枚入った袋がある。この袋から甲さんが１枚引いたあと、乙さんが１枚引いた時、取り出す方法は全部で何通り？」

※A1→A2は「甲さんがA1を引いた後、乙さんがA2を引く」とする。カードはA1、A2、A3、B1、B2、C1の６枚

（A1→A2）（A1→A3）（A1→B1）（A1→B2）（A1→C1）

（A2→A1）（A2→A3）（A2→B1）（A2→B2）（A2→C1）

（A3→A1）（A3→A2）（A3→B1）（A3→B2）（A3→C1）

（B1→A1）（B1→A2）（B1→A3）（B1→B2）（B1→C1）

（B2→A1）（B2→A2）（B2→A3）（B2→B1）（B2→C1）

（C1→A1）（C1→A2）（C1→A3）（C1→B1）（C1→B2）

数えてみると、３０通り。

数えてみるというのが基本か…ふむ。

でも、数えていられないから計算式があると。

「１～５と書かれたカードが１枚づつ袋に入っている。その中から１枚をとりだし、数字を見てから戻す。この動作を３回繰り返した時、見た数字の順番は全部でいくつになるか？」

１回目に見たのが１だった場合、２回目は１～５、３回目も１～５。

樹系図という考え方がいいとのこと。書いてみる。

一番上が一回目、真ん中が二回目、一番下が三回目

１回目の１～５それぞれに、２回目の１～５があり、２回目の１～５それぞれに、３回目の１～５がある。

なので、

５×５×５　＝　１２５通り

が答えになる。

…なるほど。

となると、一番最初にやった問題の３６通りというのは

６×６　＝　３６通り

ということか。

サイコロを３つにしたら

６×６×６　＝　２１６通り

になると。ふむ。

「１～５と書かれたカードが１枚づつ袋に入っている。その中から３枚を取り出して、並べて３桁の数字をつくる時、全部で何通りの数字をつくれるか？」

↓

「１～５と書かれたカードが１枚づつ袋に入っている。その中から１枚を取り出し、置く。残りのカードから１枚を取り出し、置く。さらに、残りのカードから１枚を取り出し、置く。取り出したカード３枚を並べて数字をつくるとき、全部で何通りの数字をつくれるか？」

ここで、また樹系図を書く。

１回目に「１」を引いて、２回目に「２」を引いて、３回目を引くとすると、こんな感じになる。

１回目に「１」を引いたから、２回目に引けるカードは「２～５」。さらに３回目に「２」を引いたら「３～５」。

要するに

１回目　５枚のカードから１枚　５通り

２回目　４枚のカードから１枚　４通り

３回目　３枚のカードから１枚　３通り

ということ。

５×４×３　＝　６０通り　が答え。

…ふむ。

で、この６０通りを導くのが順列の総数（パーミュテーション）と。

「異なるn個の中からr個を取り出す順列の総数」

nPr　＝　nからひとつづつ減らしてr個掛ける

５P３　＝　５×４×３　＝　６０

なるほど。

一つ前の問題は３枚だったけど、５枚の時は…

「１～５と書かれたカード５枚を袋から全部取り出し、５桁の数字をつくるとき、何通りの数字を創れるか？」

という問題になって、

５P５　＝　５！　＝５×４×３×２×１＝１２０

１２０通りが答え。

で、５！は「５の階乗（かいじょう）」と読む。

…「順列」とか「階乗」とか、初めて知った（かもしれない）。

で、次は…

「１～５の数字が書かれたカードが１枚づつ袋に入っている。袋の中から３枚のカードを取り出す時、３枚の組み合わせは何通りか？」

！！！

きたこれ。

これが知りたい。

「組み合わせは重複無しで数える」

 うん。そうでした。

３枚取り出した時、

（1：2：3）（1：3：2）（2：1：3）

（2：3：1）（3：1：2）（3：2：1）

これらは、すべて（１－２－３）の組み合わせ。

６つではなく、１つと数える。

重複は６つの順列を持っている。

この場合の「６つの順列」とは「３枚取り出した時」になるので

3P3＝３！＝３×２×１＝６

と導き出せる。

全てのパターンは

５P３＝５×４×３＝６０通り

これを重複している６で割る

５P３／３！　＝　１０通り　が答え。

ほほぅ。

「異なるn個の中からr個を選ぶ組み合わせは全部で　nCr通り」

nCr　＝　n！／（ｎ－ｒ）！×ｒ！

５枚のうち３枚を選ぶ組み合わせは

5C3　＝　５！／（５－３）！×３！

　　　＝５×４×３×２×１／２×１×３×２×１

　　　＝１２０／１２

　　　＝１０通り

なるほど！

これで、初手５金の確率が求められるか？

「金と書かれたカード７枚、地と書かれたカード３枚の計１０枚のカードがある。ここから５枚のカードを取り出したとき５金になる確率はいくつか？」

全てが発生する数は１０枚から５枚を引く組み合わせの数になる。

１０C５＝１０！／（１０－５）！×５！

　　　　＝３６２８８００／１４４００

　　　　＝２５２

全部で２５２通り。

で、それが発生する数というのは、「５金になる組み合わせの数」に該当し、金７枚から５枚を引く組み合わせになるから

７C５＝７！／（７－５）！×５！

　　　＝５０４０／２４０

　　　＝２１通り

になると。

で、確率は　

確率＝それが発生する数　／　全てが発生する数

になるから

２１／２５２　＝　０．０８３３３３…

１００を掛けて

「８％」

ってことか。

なるほど。なっとく。